Практические финансы онлайн

  • Видео
  • Текст
  • Интересные материалы

Теория вероятностей и финансовые ошибки

Андрей Симонов

Финансовые пирамиды хорошо маскируются и приспосабливаются под новые условия. Их далеко не всегда можно «угадать» по внешним признакам. Среди свойств, указывающих, что перед вами пирамида — обещание сверхвысокой доходности, непрозрачность (неизвестно откуда берется доход) и агрессивный маркетинг. Если вы не понимаете, как фирма делает деньги, ее лучше обходить стороной.

Андрей Симонов Какие события называются достоверными? Те, что происходят в данных условиях наверняка, с вероятностью 100%. Примеры таких событий: после среды наступит четверг, а после четверга — пятница. Наоборот, события, которые в данных условиях не могут произойти, называют невозможными. При бросании стандартного игрального кубика с 6 гранями вы не получите 7. Монета, подкинутая в обычных земных условиях, не может зависнуть в воздухе. Сразу за понедельником не наступит суббота. Оговорка «в данных условиях» важна: если мы бросаем монету в невесомости, она вполне может зависнуть в воздухе. Если на нашем кубе все грани помечены нечетными цифрами, то 7 может быть результатом броска. Все события, которые не подпадают под определения невозможных или достоверных, являются случайными. Эти события могут произойти, а могут и не произойти. Пример: вы выиграете, участвуя в лотерее; на следующей неделе испортится погода. ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТЕЙ Вероятность события количественно характеризует шансы осуществления этого события в ходе случайного эксперимента. Если мы подкидываем монету, она может упасть вверх орлом или решкой. Эти два исхода являются несовместимыми: если выпадает орел, значит, в этот раз решка не выпала. Какова вероятность того, что выпадет орел? У нас два возможных исхода (n=2), вероятность орла (m=1) равна Р(А)=m/n=1/2. Другой пример: бросается игральная кость. Чему равны вероятности следующих событий: А = {выпала грань с 6 очками}, В = {выпала грань с четным числом очков}, С = {выпала грань с числом очков, делящимся на 3}? В данном случае n = 6. Событию А благоприятствует один исход, событию В — три исхода, событию С — два исхода. Таким образом: Р(А)=1/6 Р(В)=3/6=1/2 Р(С)=2/6=1/3 ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ В реальной жизни результат может зависеть от многих событий, а вероятности последовательных событий могут зависеть друг от друга. Представим себе, что мы бросаем две кости. У нашего соперника только что выпало 6 и 5. Выигрыш для нас — это выпадение двух шестерок. Очень важно, что события «6 на кости 1» и «6 на кости 2» не зависят друг от друга. То, какое число выпало на первом кубике, никак не влияет на число, которое выпадет на втором, и наоборот. В теории вероятностей события, появления которых не влияют на появления других событий в ходе проведения эксперимента, называются независимыми. Для них вероятность
Р («6 на кости 1» и «6 на кости 2») = = Р («6 на кости 1») * Р («6 на кости 2») = = (1/6) * (1/6) = 1/36
Второй пример. Допустим, имеется урна с 12 черными и 13 белыми шарами. Шары последовательно вынимаются из урны (и не кладутся обратно в нее). Выделим два события: A — вынули белый шар, B — вынули черный шар. В этом случае событие интерпретируется так: сначала вынули белый шар, а затем черный. Вычислим вероятность возникновения события C. Очевидно, что исходные вероятности событий A и B (вынуть белый и черный шары) равны:
Р(А)=13/25 Р(В)=12/25
Но в этой задаче есть один нюанс. Мы считаем вероятность события, в котором сначала вынимается белый шар, а затем черный. Поэтому вероятность второго события (события B) изменится после того, как произойдет событие A: в урне станет на один шар меньше, и белых шаров будет 12. Тогда вероятность события B, при условии, что событие A уже произошло, будет равна:
Р(В/А)=12/24=1/2
Это условная вероятность события B (зависящая от события A), а события A и B — зависимые события. В итоге получаем, что вероятность произведения двух зависимых событий равна:
Р(А*В) = Р(А)*Р(В/А) = (13/25)*(1/2) = 0.26
НЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ В ФИНАНСАХ Предположим теперь, что вы выбираете, в какой фонд инвестировать, и смотрите на предыдущие достижения всех фондов. Было бы весьма странно предпочесть один из них, показавший в прошлом низкую доходность, другому, отличившемуся высокими показателями, не правда ли? Но нет ни малейших гарантий, что фонд, продемонстрировавший более высокую доходность в прошлом, сделает это и в будущем. В документах каждого паевого фонда вы найдете предупреждение: прошлые результаты не гарантируют будущих. Почему? На горизонте в год-два доходность фондового рынка представляет собой последовательность независимых событий. Столь же независимых, как два броска игрального кубика. К сожалению, инвесторы с небольшим капиталом пропускают мимо ушей это предупреждение. НЕПРАВИЛЬНАЯ ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТЕЙ Мы постоянно думаем о редких событиях вроде авиакатастроф. В каждом моем полете, оглядываясь на соседей-пассажиров, я вижу много лиц в состоянии паники. Но статистика говорит нам, что вероятность того, что самолет потерпит аварию — 1 из 1,2 млн. По факту большинство аварий происходит с маленькими частными самолетами, а не с большими пассажирскими лайнерами, и 95,7% пассажиров в авариях выживают. Вероятность погибнуть в авиакатастрофе — всего 1 из 11 млн (в расчете на один полет). Для сравнения: шансы погибнуть в автомобильной аварии — 1/5000 (в расчете на одну поездку), а шансы выиграть в гослото 6/45 — 1 из 140 млн. Тем не менее, ежедневно садясь в автомобиль, мало кто думает о возможности несчастного случая, а поднимаясь по трапу самолета, это делают многие. В таблице приведены вероятности получения главного приза в нескольких лотереях:
Название лотереиПравилаВероятность выигрыша
главного приза
American Powerball5 из 69 + 1 из 261: 292 201 338
Us Mega Millions5 из75 + 1 из of 15 1: 258 890 850
Spanish EuroMillions5 из 50 + 2 из 121: 139 838 160
Гослото 6/456 из 451: 8 145 060
Гослото 5/365 из 361: 376 992
Хотя такие события и являются случайными, для них справедлив следующий постулат: в единичном испытании маловозможное событие не произойдёт. Так что летайте самолетами, но не надейтесь выиграть в лотерею.
Вот здесь можно прочитать интересную статью о парадоксах теории вероятностей. Гарвардский психлг Дэн Гилберт объясняет, почему наш мозг неправильно оценивает вероятности, и как это ведет к принятию нами неправильных решений. А вот научная статья когнитивных искажениях, котрые мешают нам принимать верные решения. Вот тут популярная статья о том, как мы заблуждаемся при оценке вероятностей. И еще заметка на ту же тему. Когнитивные искажения в описании «Популярной механики» А вот тут ведущий рубрики Intelligent Investor в The Wall Street Journal Джейсон Цвейг пишет о неоправданных ожиданиях доходнсти у частных инвесторов. Высокая доходность в прошлом не гарантирует такой же доходности в будущем. Наоборот, со временем происходит «возврат к среднему»: игрок, удачно выступивший в предыдущем поединке, хуже выступает в следующем, и наоборот. Если они заинтересовали вас, посмотрите, как оценить вероятность наступления случайного события. А вот здесь рассказано, как решаются задачи на определение вероятности того, какой стороной упадет подброшенная монета. Решение задачи на подбрасывание игральных костей можно посмотреть тут, а на расчет вероятности попадания в цель – здесь. Как найти вероятность наступления хотя бы одного события из нескольких, рассказано здесь. Если вы хотите узнать о теории вероятностей больше, то вот ссылки на теоретические материалы для разного уровня подготовки: «Теория вероятностей. Краткий курс для начинающих». Школьные задачи по теории вероятностей можно вспомнить здесь. «Теория вероятностей. Начальный уровень». «Теория вероятностей. Средний уровень». Лекции по теории вероятностей для экономистов можно прочитать здесь. А вот лекции «Теории вероятностей для начинающих» преподавателей Московского физико-технического института и целый курс «Дискретный анализ и теория вероятностей» от компании «Яндекс». Популярное учебное пособие «Теория вероятностей и математическая статистика» Владимира Гмурмана могут изучать даже школьники.
Вопросы и задания к лекции №23

Вопросы и задания к лекции 23:

1. Какие события теория вероятностей называет случайными? Невозможными? Достоверными? Несовместимыми? Зависимыми?
2. Подкинутая в воздух монета 9 раз подряд упала на решку. Какова вероятность, что в десятый раз она тоже упадет на решку?