Практические финансы онлайн

  • Видео
  • Текст
  • Интересные материалы

Простые и сложные проценты

Данил Федоровых

Без понимания того, как рассчитываются сложные проценты, невозможно принимать грамотные решения о выдаче кредитов и инвестировании. Проверьте, насколько вы искушены в такой математике. Семья Петровых расходовала на товары первой необходимости 1% своего бюджета, а на развлечения — 99%. Ее доходы снизились, и на развлечения тратится 98% бюджета. Как изменились доходы? Предупреждаем: интуитивный ответ неверен.

Данил Фёдоровых ПОНЯТИЕ ПРОЦЕНТА Процент — это сотая часть числа. Когда вы берете деньги в банке, он оказывает вам услугу, и вполне резонно требует за это плату. Эта плата выражается в процентах от суммы кредита. Согласившись платить проценты, вы получаете возможность потратить деньги сегодня, а не потом: вы сможете купить машину или квартиру, оплатить обучение в университете или просто ежедневные покупки раньше, чем заработаете деньги. Возможность получить товар раньше и пользоваться им дольше — благо, за которое нужно платить, и поэтому вы вернете больше денег, чем взяли. Симметрично, если вы даете деньги кому-то взаймы (например, банку — открываете депозит), вы отказываетесь от возможности потратить их сейчас сами, а значит, вполне резонно требуете от заемщика компенсацию. Конечно, в зависимости от ваших отношений с заемщиком, эта компенсация может представлять собой что угодно. Может быть, он принесет вам шоколадку, когда будет возвращать деньги, сделает вам маникюр или просто скажет «спасибо», но чаще (а при формальных отношениях между людьми и банками — почти всегда) эта компенсация выражается в процентах от суммы долга. Рассмотрим простой пример. Скажем, ваш друг (назовем его Аристарх) хочет купить телевизор, но ему не хватает 10 000 рублей. Он попросил их у вас, обещав вернуть через год с процентами. Вы договорились о ставке 10% годовых. Сколько Аристарх должен будет вернуть? Сотая часть от суммы долга (1%) — это 10 000 / 100 = 100 рублей, а десять таких частей — 1 000 рублей. Значит, через год Аристарх должен будет вам 11 000 рублей. ПРОСТЫЕ И СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ Допустим, через год ваш друг признается, что у него нет таких денег, и попросит одолжить их еще на год на прежних условиях? Если ваше доверие к Аристарху еще не совсем потеряно, вы можете согласиться. Какую сумму ваш друг должен будет вернуть вам еще через год? Ответ на этот вопрос не так прост, как может показаться. С одной стороны, кредит, который вы выдали Аристарху, составляет 10 000 рублей, и 10% от него — это 1 000, а значит, к концу второго года долг составит 11 000 + 1 000 = 12 000 рублей. Если бы срок займа изначально был два года, то такой подсчет был бы вполне логичен: по 10% каждый год — это 20% от общей суммы, то есть 2 000. Этот способ подсчета называется простые проценты, потому что они каждый раз начисляются на одну и ту же сумму — изначальную сумму долга. Однако вы можете рассуждать по-другому. По прошествии года ваш друг должен вам 11 000 рублей, и эту сумму вы даете ему еще на год. Может быть, 10% за второй год нужно тогда считать уже от этой суммы, а не от изначальных 10 000? Тогда 1% от суммы кредита составит 11 000 / 100 = 110 рублей, а сумма долга Аристарха к концу второго года будет равна 11 000 + 110 * 10 = 12 100 рублей. Сумма получилась больше, чем при расчете простых процентов, и это естественно: ведь мы начислили проценты за второй год не только на изначальную сумму долга, но и на проценты, начисленные в предыдущий год. Такой способ подсчета называется сложные проценты. При этом способе вы как бы увеличиваете сумму долга на сумму накопленных процентов, а затем начисляете проценты еще раз. Этот процесс называется капитализацией процентов. Как посчитать сумму долга в общем случае? Допустим, изначальный займ составляет X рублей, каждый год он будет увеличиваться на долю r (в этом случае ставка процента составит — 100r % годовых), а период — t лет (здесь r — доля от единицы; например, 10% = 0,1, 20% = 0,2). Допустим, выбранная схема начисления соответствует простым процентам. Тогда нужно просто добавить к изначальной сумме X долю r от нее столько раз, на сколько лет дается сумма. В итоге к концу периода займа заемщик будет должен вернуть сумму: X + (X * r + X * r + X * r + …) = X (1 + r * t). t раз С простыми процентами всё просто: сколько лет копится долг, столько раз нужно прибавить к изначальной сумме величину X * r. Если используются сложные проценты, то расчёты немного сложнее. Через год сумма долга будет равна X (1 + r), и в следующий раз проценты будут браться уже от этой суммы. То есть через два года сумма долга станет равна X (1 + r) * (1 + r) = X (1 + r)2. Следуя этой логике, можно понять, что через три года сумма станет равна X (1 + r)3, через четыре — X (1 + r)4, а к концу срока — X (1 + r)t. Каждый год сумма долга увеличивается в (1 + r) раз. В нашем примере, когда Аристарх брал деньги на два года под 10% годовых, разница между суммой долга с простыми и сложными процентами оказалась небольшой, однако, как можно догадаться, с ростом ставки процента или с увеличением срока займа эта разница нарастает. Это видно из графиков: Если вы берете 10 000 рублей в долг на 10 лет под 30% годовых, то к концу срока при простых процентах вы будете должны 40 000, а при сложных — почти 140 000 рублей. ЧАСТАЯ КАПИТАЛИЗАЦИЯ Иногда банк начисляет проценты на сумму вклада не один раз в год, а чаще. Как правило, банки предлагают вкладчикам выбор — переводить начисленные (скажем, раз в месяц или раз в квартал) проценты на отдельную пластиковую карту или прибавлять к сумме вклада. Делая этот выбор, вкладчик сравнивает не что иное, как простые и сложные проценты. Если доход переводится на карту, то сумма вклада остается прежней, и в следующий раз проценты будут начислены на ту же сумму, что и в предыдущий. Если же доход прибавляется к сумме вклада, то есть происходит капитализация, то начисления увеличиваются вместе с базой, от которой берутся проценты. Как рассчитать доход вкладчика, если банк осуществляет капитализацию процентов n раз в год? (В случае ежемесячной капитализации n = 12, а ежеквартальной — n = 4.) Нужно применить ту же формулу, что и раньше, учтя при этом два аспекта: • Проценты начисляются чаще. Если срок вклада составляет t лет, то банк сделает t × n начислений. • Начисляемая каждый раз сумма меньше, то есть каждый из t * n раз банк будет начислять проценты по ставке r / n, а не просто r. Если сделать необходимые замены в нашей формуле, получим, что сумма вклада к концу срока будет равна X (1 + r/n) t × n. Чем чаще начисляются проценты, тем быстрее растет вклад (или долг). То есть для вкладчика частая капитализация — благо, а для заемщика — неприятность. БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ Оперирование понятием процента требует навыков, так что, если вы не вполне уверены в своих расчетах, дважды перепроверяйте их. Далеко не всегда можно складывать или вычитать проценты, ведь они часто берутся от разных чисел. Если ваш вклад будет увеличиваться на 10% каждый год, то через десять лет увеличение составит не 100%, а почти 2600%. Из-за этих «странностей» интуитивные, логичные предположения могут оказаться очень далеки от истины. Зачастую без аналитических расчетов или визуализации с помощью графиков не обойтись. Рассмотрим следующую ситуацию. Пусть семья Петровых расходовала 1% своего бюджета на товары первой необходимости, а 99% — на развлечения. В результате кризиса один из членов семьи потерял работу, и теперь Петровы расходуют на развлечения лишь 98% своего бюджета (а на товары первой необходимости — ту же сумму, что и раньше, но теперь она составляет 2% от всего дохода). Какой части своего дохода лишилась семья? Что у вас получилось? Кажется, что уменьшение доли расходов на развлечения совсем небольшое — всего 1 процентный пункт. Однако посмотрите на картинку: Общая высота каждого столбца — это сумма дохода Петровых (мы взяли ее равной 1000 до кризиса, но можно было взять любое число). Синяя полоска, которую едва заметно, — расходы на товары первой необходимости; они одинаковы для ситуаций до кризиса и после. Однако эта синяя полоска составляла 1% (одну сотую) всех расходов до кризиса, а после кризиса — уже 2% (одну пятидесятую). Если какое-то число было 1/100 общей суммы, а стало 1/50, то общая сумма должна была сократиться в два раза! Получается, в результате кризиса семья Петровых лишилась половины своих доходов. ПРОЦЕНТЫ И ПРОЦЕНТНЫЕ ПУНКТЫ Некоторые показатели измеряются в процентах сами по себе — темп инфляции, уровень безработицы, ставка процента. Если значения этих показателей меняются, то изменения тоже можно выражать в процентах, и здесь может возникнуть путаница. Предположим, уровень безработицы в некоторой стране в позапрошлом году составлял 5%, то есть не работал примерно каждый двадцатый трудоспособный гражданин. А в прошлом году статистическая служба зафиксировала рост безработицы до 10%. На сколько процентов вырос этот важный экономический показатель? Ответ «на 5%» будет неправильным. Чтобы понять, почему, предположим, что уровень безработицы измеряется не в процентах, а в килограммах. Звучит странно, но ведь это лишь вопрос названия, не правда ли? Итак, уровень безработицы раньше составлял 5 килограммов, а теперь — 10 кг. Повторим вопрос: на сколько процентов вырос уровень безработицы? Этот вопрос имеет ясный смысл и ответ на него очевиден: уровень безработицы вырос в 2 раза, то есть на 100%! Этот ответ будет верным, если мы вернемся к традиционным единицам измерения: рост безработицы с 5 до 10% означает его рост в два раза, то есть на 100%. К сожалению, в таком виде этот ответ не очень показателен, и вряд ли это имелось в виду. Корректно будет говорить, что прирост уровня безработицы составил 5 процентных пунктов — так мы четко обозначим, что изменение показателя измеряется в тех же единицах, что и сам показатель — в процентах от величины рабочей силы. Различие между понятиями процента и процентного пункта — ключ к пониманию того, почему в примере с семейным бюджетом у нас получился такой неожиданный результат. Расходы на развлечения семьи Петровых сократились на 1 процентный пункт от общей суммы расходов, но в абсолютных величинах они уменьшились на 50,5% (примерно в два раза относительно своего первоначального значения). Непонимание многими этого различия часто используют в своих интересах банки, журналисты и политики, стремясь исказить представление своей аудитории о реальных условиях договора или положении вещей.
Если вы забыли школьный курс математики и не помните, что такое проценты и как их вычислять, то повторить азы можно, прочитав «Что такое проценты» и решив несколько простейших задач на проценты. Про сложные проценты и их вычисление можно прочитать здесь , а про начисление процентов — здесь. Вы также можете повторить сравнение метода простых и сложных процентов и решить задачи на вычисление эффективной процентной ставки и другие расчеты, связанные с кредитами. Поупражняйтесь в решении задач на вычисление сложных процентов. Цифры могут вводить в заблуждение! Прекрасная иллюстрация к этому – задача про арбуз. Решили ее? Предвосхищая лекцию о банковских вкладах, посмотрите, как происходит начисление процентов по ним . Как работает капитализация процентов ? Что измеряется в процентных пунктах?
Вопросы и задания к лекции №6

Вопросы и задания к лекции 6:

1. В чем отличие сложных процентов от простых?
2. Где применяются сложные проценты?
3. Банк Х предлагает вклад на 1 год с процентной ставкой 6% без возможности пролонгации (и без капитализации процентов). Банк Y предлагает вклад на 1 год с процентной ставкой 5% годовых без возможности пролонгации, но с капитализацией процентов раз в месяц. Банк Z предлагает вклад на таких же условиях, но с ежедневной капитализацией и ставкой 4% годовых. Что выгоднее?
4. Что измеряется в процентных пунктах? Для чего нужен этот показатель?